Atividade 1: Axiomatização de Hilbert

Podemos esquematizar a axiomatização das geometrias euclidiana e hiperbólica como segue:

David Hilbert (1962-1943) fundamentou a geometria euclidiana, em sua obra de 1899 chamada de "Fundamentos da Geometria ⁽¹⁾", através de 21 axiomas, organizados em cinco grupos: Incidência, Ordem, Congruência, Paralelismo e Continuidade.

Relacionamos no link "RGH" um quadro do método axiomático de Hilbert, com exceção do axioma de paralelismo, destinados à geometria plana, que atende o propósito de nosso estudo. Apresentamos os termos primitivos, as relações não definidas entre os termos primitivos, os termos definidos, os axiomas e alguns teoremas demonstrados sem o quinto postulado, que compõem a Geometria Absoluta. Incluímos também algumas leis que utilizaremos nas demonstrações. Esse quadro resumo será o ponto de partida para a explanação da geometria hiperbólica em nossa seqüência didática.

Resumo da Geometria Absoluta

É desejável que você observe atentamente o Resumo da Geometria Absoluta e se familiarize ao conteúdo disponível, pois são as justificativas possíveis aos passos das demonstrações que serão apresentadas.

Visando a familiarização da metodologia utilizada nas demais atividades, para o teorema 01 da Geometria Absoluta, propomos uma construção geométrica, sua exploração dinâmica, seguida de sua demonstração.

Selecione o botão e execute as construções solicitadas, passo a passo. Para cada passo executado corretamente aparecerá nas instruções a palavra "OK". Para desfazer um passo utilize o ícone . As medidas dos ângulos e dos lados são dadas respectivamente pelos ícones e . Selecione o ícone para mover os objetos livres da construção.

Caso de Congruência de Triângulos:  Lado-Ângulo-Lado (LAL)

No do Passo	Passo	Justificativa
01	Dados os triângulos e sendo , e .	Hipótese
02	Temos que .	01, C 05
03	Vamos supor que  não seja congruente a , ou seja, (podemos provar o mesmo supondo ).	Negação da Tese
04	Determinemos o ponto D', em , tal que . Tracemos .	T 16; C 01, Construção
05	Temos que , pois  (hipótese), (passo 4) e (passo 2).	01; 02; 04; C 05
06	Contradição, pois  (hipótese) e (passo 05), o que é impossível pois o transporte de um ângulo a partir de uma semi-reta, no mesmo semi-plano, só pode ser feito de uma única maneira.	01, 05, C 04
07	Refazendo os passos 03-06 para encontramos também uma contradição. Portanto .	06
08	Temos que , pois (hipótese), (hipótese) e (hipótese).	01, C 05
09	Os triângulos e apresentam respectivamente os lados e os ângulos respectivamente congruentes, logo .	01; 02; 05; 07; 08

Perceba que o T 01 não utilizou o axioma das paralelas em sua demonstração, sendo portanto um teorema da geometria absoluta, válido tanto para a geometria euclidiana como a geometria hiperbólica.

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