Definição Hiperbólica 05: Se dos extremos de um segmento de reta forem traçadas duas retas paralelas assintóticas num determinado sentido e se tomarmos um ponto qualquer de cada reta posicionados no lado do paralelismo (K e L), então a figura KABL é dita biângulo e o segmento dado é a sua base.

e são os ângulos.

é a base.

OBS: Note que WABM não é um biângulo, pois os pontos W e M estão situados no sentido oposto ao do paralelismo.

TH 11: Em um biângulo, o ângulo externo é maior que o ângulo interno oposto, ou seja, 

Demonstração

Hipótese: Seja KABL um biângulo, conforme a figura. Prolongando a base até um ponto qualquer C, temos o ângulo externo

Tese:   

01

Seja KABL um biângulo, conforme a figura. Prolongando a base até um ponto qualquer C temos o ângulo externo

Hipótese

02

e são paralelas assintóticas no sentido do paralelismo (no caso, à direita)

DH 05

03

Demonstraremos  que não é menor que 

1. Suponhamos

Negação da tese

C 04;  construção

03.1; 03.2, P 07

4. passa pela região angular KAB

03.3

5. é secante à reta

02; 03.4; DH 03

O 02 ;Construção;Ct 01

7. No temos que

T 08

8. Contradição. Logo não é menor que 

03.2; 03.7

Demonstraremos   que não é congruente a 

1. Suponhamos

Negação da tese

D 17;T 02;O 02; C 01; Construção;I 01

2.a Verificaremos se os pontos  Q, O e P são alinhados:

2.a.1 

T 03; P 01

2.a.2 

04.1; 04.2.a.1; P 25

2.a.3  , pois  (04.2), (04.2.a.2) e (04.2)

T 01

2.a.4 

04.2.a.3

2.a.5 

04.2.a.4; P 08

2.a.6 

T 03

2.a.7 

04.2.a.5; 04.2.a.6; P 01

2.a.8   Logo os pontos Q, O e P são alinhados

T 09

3. Temos que é reto

04.2.a.3

4. é paralela assintótica a por Q

02; TH 04

04.2; 04.2.a.8

6. é agudo

TH 03;04.4

7. Contradição. Logo não é congruente a 

04.3; 04.6

Temos então que , pois não é menor nem congruente a .

03.8; 04.7; P 09

TH 12:  Se duas retas intersectadas por uma transversal formar ângulos onde se verifica uma das 8 relações abaixo,então as retas são paralelas divergentes.

Relações: ; ; ; ; ; ; e .

obs:

Demonstre o TH12 negando a tese (considere como hipótese uma das relações válidas, e prove que d ║a. Em seguida, negue a tese supondo a e d paralelas assintóticas à direita e depois à esquerda chegando a contradições).

Resposta

Demonstração

Hipótese:

Tese: 

Hipótese

CASOS DE CONGRUÊNCIA DOS BIÂNGULOS

TH 13: (A-B) Se dois biângulos apresentam um ângulo interno e a base congruentes, então eles são congruentes.

Se e , então

ou

Se e , então

Demonstração

Hipótese: Sejam os biângulos KABL e K'A'B'L', com e

Tese: 

Sejam os biângulos KABL e K'A'B'L', com e

Hipótese

Vamos supor que os biângulos não sejam congruentes, ou seja, os ângulos  e não são congruentes. Vamos considerar (). Deve-se  provar o mesmo para .

Negação da Tese

C 04; construção

  e portanto está na região angular KAB

02; 03; P 10

é secante à reta

01, 04;  DH 03

O 02; construção; Ct 01

C01; construção

, pois (hipótese), (hipótese) e (07)

T 01; 01; 07

, ( ou )

08

Consequentemente temos

03; 09; P 01

Mas

P 04

Contradição. Logo

10;11

Analogamente, podemos considerar como hipótese que   e concluir que .

01-12

Logo

12, 13

TH 14: (A-A) Se dois biângulos apresentam os ângulos correspondentes congruentes, então eles são congruentes.

Se e , então

Demonstração

Hipótese: Sejam os biângulos KABL e K'A'B'L', com () e ()

Tese:   

Sejam os biângulos KABL e K'A'B'L', com () e ()

Hipótese

Vamos supor que os biângulos não sejam congruentes, ou seja, os segmentos  e não são congruentes. Vamos considerar  .Deve-se provar o mesmo para .

Negação da Tese

C 01; construção

AH 01; construção

Conseqüentemente é paralela assintótica à direita, também em relação à reta

TH 07

K'A'M'N' e N'M'B'L' são biângulos

05 (K'A'M'N' ); 04 (N'M'B'L'); DH 05

, pois (construção) e (hipótese). Logo

06; TH 13

01,07, P 01

No biângulo N'M'B'L'  temos que

TH 11

Contradição. Logo

08 ; 09

Nessas condições temos que

01,10

Resumo da Geometria Hiperbólica (RGH)

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