|
|
Definição
Hiperbólica 06: Um quadrilátero de Saccheri é um quadrilátero no
qual dois de seus lados opostos são congruentes e apresentam uma
perpendicular comum que é um outro seu lado, chamado de base.O lado
oposto à base é chamado topo.
 :
base (perpendicular comum à
e
 )
 :
topo
 :
lados opostos congruentes
Ângulos da base: 
(retos)
Ângulos do topo:
e
 |
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja □ABCD
um quadrilátero de Saccheri, sendo
a base e seja K e L os pontos médios respectivamente de
e  . |
Hipótese |
|
02 |
Demonstraremos que os ângulos da base são congruentes ( ou
) |
|
|
Construção;
I 01 |
-
 ,
pois
(hipótese);
(def. quadrilátero de Saccheri) e
 (def.
quadrilátero de Saccheri)
|
T 01 |
-
e 
|
02.2 |
-
 ,
pois
(02.3);
 (hipótese)
e
 (comum)
|
T 10 |
-
|
02.4 |
-
|
02.3;
02.5; P 11 |
-
|
02.6 |
|
03 |
Demonstraremos que
 é
perpendicular à base
 |
-
 ,
|
02.2;
02.4; |
-
|
03.1;
P 11 |
-
|
03.2 |
-
 e
são congruentes e suplementares
|
03.3;
D 06 |
-
Logo
e
são retos
|
03.4;
T 03 |
-
|
03.5;
D 13 |
| 04 |
Demonstraremos que
é
perpendicular ao topo
 |
| 05 |
-
Da mesma
forma, como
,
prova-se que os ângulos
 e
 são
congruentes e retos. Logo
 .
|
02.4;
D 06 ;D 13 |
|
|
TH 16: A base e o topo de um quadrilátero de Saccheri são
paralelas divergentes, e também o são os outros dois lados.
|
|
Demonstre o TH 16. Você vai precisar do teorema TH
15. |
Resposta |
|
|
TH 17: Os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são
agudos
e 
são agudos
|
|
Demonstração |
Hipótese: Seja □ABCD um quadrilátero de Saccheri, sendo
a base |
|
Tese:
e
são agudos |
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja □ABCD
um quadrilátero de Saccheri, onde
é a base |
Hipótese |
| 02 |
|
DH 03; construção |
| 03 |
Verificaremos se
e
 estão
sob a reta DCE |
-
DCE é
paralela divergente a ABF por D
|
01; TH 16 |
-
é paralela assintótica a ABF por D
|
02 |
-
está no espaço angular EDA
|
DH 03; 03.2 |
-
Analogamente
está no espaço angular ECB
|
03.1-03.3
|
| 04 |
e
são paralelas assintóticas entre elas no mesmo sentido em que são
paralelas assintóticas em relação à
(no caso, à direita) |
TH 07 |
| 05 |
Logo □HCDG
é um biângulo de base
 |
04;
DH 05 |
| 06 |
 |
TH 11 |
| 07 |
□GDAF e □HCBF
são biângulos |
02;
DH 05 |
| 08 |
 (retos)
e
 |
01;
DH 06 |
| 09 |
 .
(A-B) pois,
e  |
08,
TH 13 |
| 10 |
Por 06
temos que
 .
Somando
em ambos os membros, temos que
 ,
ou ainda podemos substituir
por
(por 09), obtendo
 .
Ou seja,
 |
06; 09;
P 12 |
| 11 |
Mas
 |
01, TH 15 |
| 12 |
Então
 |
10, 11,
P 07 |
| 13 |
 |
T 03 |
| 14 |
 |
12, 13,
P 13 |
| 15 |
 |
11, 14,
P 14 |
| 16 |
Logo,
como  , temos que
 |
TH 15 |
|
|
Analise a seguinte situação:
os quadriláteros de Saccheri existem na geometria euclidiana.
Se tomarmos a definição tradicional de retângulo
euclidiano, ou seja, a de um quadrilátero plano convexo que apresenta os
quatro ângulos congruentes, teremos os retângulos na geometria hiperbólica? Explore dinamicamente a
figura, mantendo o ponto D no interior do plano de Poincaré. |
Resposta |
Após a atividade 7, o Resumo foi atualizado.
 |
Resumo da Geometria
Hiperbólica (RGH) |
|
;
,
e
,
,
conforme figura.
Tracemos as retas
,
no sentido de F (no caso, à direita), respectivamente por D e por C.
