TH 29: As três retas perpendiculares nos pontos médios aos lados de um triângulo ou passam por um mesmo ponto, ou são paralelas divergentes ou paralelas assintóticas num mesmo sentido.

Demonstração

Hipótese: Seja o triângulo de lados  , e e pontos médios respectivamente M, N, L.

Tese: Ou as retas perpendiculares à M, N e L passam por um mesmo ponto I (caso 1); ou são paralelas divergentes (caso 2) ou são paralelas assintóticas num mesmo sentido (caso 3).

01

Seja o triângulo ABC de lados  , e e pontos médios respectivamente M, N, L.

Hipótese

02

03

Essas perpendiculares podem sem: secantes, paralelas divergentes ou ou paralelas assintóticas num mesmo sentido

DH 03

04

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

1^o Caso: as perpendiculares à por M e à por N  são secantes e se intersectam num ponto I.

04.1.Tracemos e 

Construção; I 01

04.2. , pois é comum, (retos) e (M é ponto médio de )

T 01

04.3. Logo

04.2.

04.4. Tracemos

Construção; I 01

04.5. ,  pois é comum, (retos) e

T 01

04.6. Logo

04.5

04.7.Temos então que , ou seja I é eqüidistante dos vértices do triângulo.

04.3,  04.6 e P 01

Obs: Note que o é inscritível na circunferência de centro I (D 22 e 04.7)

05

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

2^o Caso: as perpendiculares à por M e à por N  são paralelas divergentes

05.1. As perpendiculares à por M e à por N apresentam uma perpendicular comum

TH 09

05.2. Tracemos H na intersecção da perpendicular  à com e tracemos K na intersecção da perpendicular  à com .

Construção

05.3. Tracemos o ponto médio de , denominando-o de L. Tracemos a perpendicular à  por L.

Construção; T 02

05.4. Tracemos por A, B e C as perpendiculares à , que a encontram respectivamente nos pontos D , E e F.

Construção; T 02

05.5. , pois  é comum, (retos) e (M é ponto médio de )

T 01

05.6., pois é comum, (retos) e (N é ponto médio de )

T 01

05.7., pois (por 05.5), (retos) e (por 05.5 e D 23)

T 15

05.8. Logo

05.7

05.9. , pois (por 05.6), (retos) e (por 05.6 e D 23)

T 15

05.10. Logo

05.9

05.11. Temos então que , ou seja, os vértices do triângulo são eqüidistantes da perpendicular comum .

05.8 e 05.10 e P 01

05.12. O é um quadrilátero de Saccheri, de base .

DH 06 e 05.11

05.13. Tracemos pelo ponto médio L, de , uma perpendicular que encontra em P

Construção

05.14. é perpendicular à

TH 15

05.15.  Logo as paralelas pelos pontos médios dos lados do , ou seja , e , são perpendiculares à reta . Logo são paralelas divergentes.

TH 12

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

3^o Caso: as perpendiculares à por M e à por N  são paralelas assintóticas num mesmo sentido.

Vamos provar inicialmente que a terceira perpendicular é paralela assintótica

06.1. Supondo que a terceira reta, perpendicular à , por L, seja concorrente com a perpendicular à por M. Sendo assim será concorrente também com a perpendicular à  por N, o que contraria a hipótese do 3^O caso.

04 (Caso 1)

06.2. Supondo que a terceira reta, perpendicular à , por L,  tenha uma perpendicular comum com a perpendicular à por M. Sendo assim terá também uma perpendicular comum com a perpendicular à  por N, o que contraria a hipótese do 3^O caso.

05 (Caso 2)

06.3. Logo a perpendicular à , por L é uma paralela assintótica.

06.1. e 06.2

Vamos provar que as três perpendiculares apresentam uma transversal comum (ou seja, elas não determinam um triângulo com seus vértices em pontos ideais), sendo portanto paralelas assintóticas no mesmo sentido.

Construção; C 04

06.5. Os triângulos e são isósceles, com  e .

06.4 e D 16

Construção, 06.5 e D 24

06.7. As perpendiculares ao lados pelos seus pontos médios apresentam uma transversal comum . Logo são paralelas assintóticas num mesmo sentido.

06.6

Caso 1: feixe constituído de todas as retas do plano passando por um ponto, dito centro do feixe (O).

Caso 2: feixe "próprio" constituído de todas as retas do plano perpendiculares à uma mesma reta (a), dita linha base do feixe.

Caso 3: feixe "impróprio" constituído de todas as retas do plano paralelas entre si no mesmo sentido.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Propriedades:

1. Duas retas de um feixe o determinam univocamente.

2. Dado um feixe de retas, por cada ponto do plano (exceto o caso no qual o ponto seja o centro do feixe do caso 1), passa uma e só uma reta do feixe.

A partir das três situações, podemos definir respectivamente três lugares geométricos:

DH 09 - Circunferência que é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes do centro do feixe (que coincide com o centro da circunferência) . Ex. circunferência de centro P e raio .

DH 10 - Hipercírculo ou curva eqüidistante, que é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes a linha base do feixe (reta a), que estão do mesmo lado em relação à ela. Ex. o arco A'B'C' é um hipercírculo e apresenta como linha base a reta a. As retas do feixe (m,n, d,c) denominam-se raios e são perpendiculares à linha base.

DH 11 - Horocírculo ou curva limitante, que é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes do ponto ideal (H). Ex. o arco KLM é um horocírculo com vértice em H. As retas dos feixes denominam-se raios e são perpendiculares à curva limitante.

Analise a seguinte situação: qual a relação do quadrilátero de Saccheri com uma das curvas dadas?

Resposta

Resumo da Geometria Hiperbólica (RGH)

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