Qual a importância do surgimento das outras
geometrias no desenvolvimento da física moderna, no final do séc.
XIX e começo do séc. XX?
Demonstraremos a seguir dois teoremas
da geometria absoluta, que poderão ser utilizados para a demonstração
solicitada no exercício 2.
Teorema 16:
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos
opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior
lado.
Demonstração
Hipótese:Dado o triângulo
,
com dois lados não congruentes (
)
Tese:
No do
Passo
Passo
Justificativa
01
Dado o triângulo
,
com dois lados não congruentes (
)
Teorema 17:
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os
lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao
maior lado.
Demonstração
Hipótese:Dado o triângulo
,
com dois ângulos não congruentes (
)
Tese:
No do
Passo
Passo
Justificativa
01
Dado o triângulo
,
com dois ânglulos não congruentes (
)
Demonstre que em todo
triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois
(desigualdade triangular).
Qual o motivo da desigualdade
triangular também ser válida na geometria hiperbólica ?
Seja □ABCD um paralelogramo hiperbólico.
Explore dinamicamente a figura e
dê uma definição de paralelogramo hiperbólico e compare-a com as
definições de paralelogramo euclidiano que você conhece.
Como são as retas suporte dos
seus lados opostos?
Dado um triângulo ABC, tracemos a reta que passa
pelos pontos médios de dois de seus lados
,
conforme figura. Tracemos por B e C perpendiculares à reta
,
que a intersecta respectivamente nos pontos F e G, conforme figura.
Nessas condições, demonstre as afirmações abaixo:
o triângulo ABC é equivalente
ao Quadrilátero de Saccheri BCGF
5. Analise os casos de
congruência de triângulos válidos na Geometria Hiperbólica e
responda se nessa geometria há triângulos semelhantes. Justifique
sua resposta.
,
com dois lados não congruentes (
)
de
modo que
.
Tracemos
é isósceles (
)
é externo ao triângulo
.
Então
,
com dois ângulos não congruentes (
)
,
com dois ânglulos não congruentes (
)
não é menor que
é isósceles
não é igual a
,
conforme figura. Tracemos por B e C perpendiculares à reta
,
que a intersecta respectivamente nos pontos F e G, conforme figura.
Nessas condições, demonstre as afirmações abaixo:
