Termos Primitivos |
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TP 01 |
Ponto |
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TP 02 |
Reta |
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TP 03 |
Plano |
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Relações Primitivas (que relacionam os termos primitivos) |
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RP 01 |
Estar em |
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RP 02 |
Entre |
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RP 03 |
Congruência |
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Axiomas de Incidência |
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I 01 |
Para cada dois pontos A, B há sempre uma reta a que está associada com cada um dos dois pontos A, B. |
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I 02 |
Para dois pontos A, B não há mais do que uma reta que está associada com cada um dos dois pontos A, B. |
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I 03 |
Sobre uma reta há sempre, pelo menos, dois pontos. Há pelo menos três pontos que não estão sobre uma mesma reta. |
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Axiomas de Ordem |
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O 01 |
Se um ponto B está entre um ponto A e um ponto C, então A, B, C são três pontos distintos duma reta,e B está também entre C e A. Em símbolos: A * B * C ou C * B * A. |
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O 02 |
Para cada dois pontos A e C há sempre, pelo menos, um ponto B sobre a reta AC tal que C está entre A e B. Em símbolos: A * C * B. |
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O 03 |
Dados três pontos quaisquer duma reta, não há mais do que um que está entre os outros dois. |
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O 04 |
(Axioma de Pasch) Toda reta traçada de um ponto do triângulo a um seu ponto interno intersectará o triângulo, se prolongada, em mais um ponto. |
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Axiomas de Congruência |
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C 01 |
Se A e B são dois pontos de uma reta a e A' é um ponto de uma reta a', pode-se sempre encontrar sobre uma semi-reta de a' um ponto B' determinado por A' tal que o segmento AB seja congruente ou igual ao segmento A'B'. Em símbolos: AB ≡ A'B' |
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C 02 |
(transitividade) Se os segmentos A'B' e A''B'' são congruentes com o mesmo segmento AB, também o segmento A'B' é congruente com o segmento A''B''. |
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C 03 |
Sejam AB e BC dois segmentos da reta a sem pontos comuns, e por outro lado A'B' e B'C' dois segmentos sem pontos comuns sobre a mesma reta a ou sobre outra distinta a': se AB ≡ A'B' e BC ≡ B'C' então AC ≡ A'C'. |
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C 04 |
Sejam
dados um ângulo
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C 05 |
Se em dois
triângulos ABC e A'B'C' se verificam as congruências AB ≡ A'B', AC ≡
A'C',
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Ct 01 |
(Axioma de Arquimedes): Se AB e CD são segmentos quaisquer, então existe um número natural n tal que n segmentos congruentes a CD construídos continuamente a partir de A sobre a semi-reta AB, conterá o ponto B. |
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Ct 02 |
(Axioma da Continuidade Circular): Se uma circunferência C tem um ponto no interior e um ponto no exterior de uma outra circunferência C, então as duas circunferências se cortam em dois pontos. |
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Ct 03 |
(Axioma da Continuidade Elementar): Se uma extremidade de um segmento de reta está no interior de uma circunferência e a outra extremidade no exterior, então o segmento corta a circunferência em um ponto. |
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D 01 |
Os pontos que estão situados entre A e B chamam-se os pontos do segmento AB ou BA. |
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D 02 |
Toda a reta é dividida por qualquer dos seus pontos em duas semi-retas. |
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D 03 |
A duas
semi-retas h e k que partem de um ponto A e que não formam uma reta,
damos o nome de ângulo e o designamos por
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D 04 |
Dadas duas
semi-retas h e k, os pontos do plano que em relação a h estão no mesmo
lado que k, e ao mesmo tempo estão no mesmo lado que h em relação a k
denominam-se pontos interiores do ângulo
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D 05 |
Um sistema de segmentos AB, BC, CD,...KL chama-se uma poligonal que une os pontos A e L; esta poligonal também se designará abreviadamente por ABCD...KL. Os pontos do interior dos segmentos AB, BC, CD,...,KL, assim como os pontos A,B,C,D,...K,L chamam-se, todos eles os pontos da poligonal. Em particular, se os pontos A,B,C,D,...,K,L estão todos num plano e se, além disso, o ponto L coincide com o ponto A, então a poligonal chamar-se-á um polígono e designar-se-á por polígono ABCD...K. Os segmentos AB, BC, CD,...,KL chamam-se também os lados do polígono. Os pontos A,B,C,D,...K chamam-se os vértices do polígono. Polígonos com 3, 4, ..., n vértices chamam-se triângulos, quadriláteros, ..., polígonos com n vértices [ou n-ágonos]. |
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Dois ângulos que têm o vértice e um lado comuns e cujos lados não comuns constituem uma reta, chamam-se ângulos adjacentes suplementares. Dois ângulos com o vértice comum em que cada lado dum deles constitui com um dos lados do outro uma reta, chamam-se ângulos verticalmente opostos. Um ângulo que é congruente com um seu ângulo adjacente suplementar, chama-se um ângulo reto. |
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Um triângulo ABC diz-se congruente com um triângulo A'B'C', se são verificadas todas as congruências:
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Um ângulo que é maior que o seu ângulo adjacente suplementar, ou maior do que um ângulo reto, chama-se um ângulo obtuso; um ângulo que é menor do que o seu ângulo adjacente suplementar, ou do que um ângulo reto, chama-se um ângulo agudo. |
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Os ângulos
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D 10 |
Duas retas dizem-se paralelas se estão num mesmo plano e não se intersectam. |
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D 11 |
Se M e um ponto qualquer dum plano a, então ao conjunto de todos aqueles pontos A, em a, para os quais os segmentos MA são congruentes entre si, chama-se circunferência; a M chama-se centro da circunferência, MA é dito raio e qualquer segmento com extremidades na circunferência, passando pelo centro M, chama-se diâmetro. |
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D 12 |
Um ponto está no interior ou no exterior de uma circunferência se o segmento de reta que une ao centro da circunferência é respectivamente menor ou maior do que o raio. No caso de ser igual ao raio, dizemos que o ponto em questão pertence a circunferência. |
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D 13 |
Duas retas dizem-se perpendiculares se são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes. |
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D 14 |
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vertíce em dois ângulos congruentes. |
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D 15 |
Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto. |
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D 16 |
Os triângulos, quanto aos lados se classificam em: equilátero : seus três lados são congruentes; isósceles: dois de seus lados são congruentes, e o outro lado é dito 'base'; escaleno: nenhum de seus lados são congruentes.
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D 17 | Ponto Médio de um segmento é o ponto desse segmento eqüidistante das extremidades. | ||
D 18 |
Círculo é a região compreendida por uma circunferência e sua região interior. |
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D 19 |
Chama-se arco de circunferência, a região da circunferência limitada por dois de seus pontos. |
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D 20 |
Ângulo Central relativo a uma circunferência é o ângulo que apresenta o vértice no centro da circunferência. |
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D 21 |
Ângulo Inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que apresenta o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela. |
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D 22 |
Diz-se que um polígono está inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices são pontos dessa circunferência. |
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D 23 |
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas for igual a um ângulo reto. |
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D 24 |
Num triângulo isósceles a mediatriz, a bissetriz e a altura relativas à base são coincidentes. |
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D 25 |
Corda de um circunferência é um segmento cujas extremidades são pontos da circunferência |
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Teoremas demonstrados sem o Postulado das Paralelas |
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T 01 |
(LAL)
Dados os triângulos ABC e A'B'C' se
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T 02 |
Por um ponto qualquer de uma reta existe uma única reta perpendicular a ela. |
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T 03 | A soma das medidas de ângulos suplementares é igual a 180o. | ||
T 04 |
Se uma reta é levantada sobre uma outra reta, formará com ela ou dois ângulos retos ou ângulos cuja soma é igual a dois retos. |
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T 05 |
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T 06 |
Se uma reta d intersecta outras duas a, b, formando com ela ângulos alternos internos congruentes, então as duas retas, a e b, são paralelas. |
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T 07 |
Se uma reta d intersecta outras duas a, b, formando um ângulo externo congruente ao interno oposto da mesma parte, ou também os dois internos da mesma parte iguais a dois retos, então a e b são paralelas. |
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T 08 |
Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes |
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T 09 |
Se a soma das medidas de dois ângulos adjacentes é 180o, então os lados são alinhados. |
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T 10 |
(LLL)
Dados os triângulos ABC e A'B'C' se
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T 11 |
(ALA)
Dados os triângulos ABC e A'B'C' se
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T 12 |
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T 13 |
A soma de dois quaisquer ângulos de um triângulo é menor que 180o. |
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T 14 |
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. |
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T 15 |
(LAAo)
Dados os triângulos ABC e A'B'C' se
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T 16 |
Para cada dois pontos A e C há sempre pelo menos um ponto D sobre a reta AC, que está entre A e C. |
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Propriedades |
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P |
Igualdades e desigualdades entre grandezas geométricas do mesmo tipo obedecem as mesmas leis das equações e inequações entre números inteiros. Sejam a, b, c e d grandezas quaisquer homogêneas, temos: P 01:Se a = b e c = b, então a = c P 02:Se a = b e c = d, então a + c = b + d P 03:Se a = b e c = d, então a - c = b - d P 04:a +b > a P 05:Se a = b e c > d, então a + c > b + d P 06:Se a > b e b = c, então a > c P 07:Se a < b e c = a, então c < b P 08: Se a = b, então a + c = b + c P 09: Se a não é menor que b, e a é diferente de b, então a > b P 10: Se a > b e c = b, então c < a P 11: Se a = b e c = d; então a + c = b + d P 12: Se a < b e c = d; então a + c < b + d P 13: Se a < b e a + b = c; então a + a < a + b => 2a < c => a < c / 2 P 14: Se a = b e b < c; então a < c P 15: Se a > b e b > c; então a > c P 16: Se a > b e c > d; então a + c > b + d P 17: Se a < b e c + a = 2b; então c > b P 18: Se a < b e c > b; então a < c P 19: Se a < b e c < b; então a + c < 2b P 20: Se a = b e a < c; então b < c P 21: Se a + b = c e d + e = c ; então a + b + d + e = 2c P 22: Se a = b e a + c = d ; então b + c = d P 23: Se a + a + b + b = 2a + 2b = c ; então a + b = c / 2 P 24: Se a > b e c = b / 2 ; então a > 2c ou ainda c < a / 2 P 25: Se a + b = c + d e b = d, então a = c |
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Axiomas da geometria hiperbólica |
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AH 01 |
(Axioma das retas secantes e não secantes) Seja b uma reta qualquer e A um ponto não situado sobre ela. Existem sempre duas semi-retas a1 e a2 que partem de A e não constituem uma só reta e que não cortam b, mas toda a semi-reta que parte de A e situada no espaço angular formado por a1, a2 corta a reta b. |
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Definições da geometria hiperbólica |
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DH 01 |
Supondo a
reta b dividida por um qualquer dos seus pontos B em duas semi-retas b1
e b2, e estando as semi-retas a1 e b1
de um lado da reta
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DH 02 |
Toda a semi-reta determina um sentido: dizemos que todas as semi-retas paralelas entre si determinam um mesmo sentido. Uma semi-reta que parte de A com o sentido a será designada em gera por (A,a).Uma reta tem sempre dois sentidos. Em geral uma reta cujos sentidos são a e b é designada por (a,b). |
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DH 03 |
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DH 04 |
As retas b e c são paralelas assintóticas a a por P. A perpendicular a a por P forma com as retas b e c ângulos denominados Ângulos de Paralelismo. |
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DH 05 |
Se dos extremos de
um segmento de reta
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DH 06 |
Um quadrilátero de Saccheri (03) é um quadrilátero no qual dois e seus lados opostos são congruentes e apresentam uma perpendicular comum que é um outro seu lado, chamado de base.O lado oposto à base é chamado topo. |
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DH 07 |
Um quadrilátero de Lambert é um quadrilátero que apresenta três ângulos retos. |
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DH 08 | Triângulo Ômega é um triângulo que apresenta um ou mais vértices em pontos ideais. | ||
Teoremas da geometria hiperbólica |
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TH 01 |
Seja a uma reta qualquer e P um ponto não situado sobre ela. Pelo ponto
P passam as retas b e c, paralelas a a por P. Toda reta d que passa por
P, e por um ponto qualquer O, situado no espaço angular formado por
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TH 02 |
Dada uma reta a e um ponto P fora dela, existe para cada sentido uma única reta assintótica em relação à reta a por P. |
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TH 03 |
As paralelas assintóticas b e c em relação à reta a por P formam ângulos de paralelismo congruentes e agudos . |
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TH 04 |
Uma reta c paralela assintótica a uma reta a por um ponto P, num determinado sentido, também o será por qualquer outro seu ponto (W ou X), no mesmo sentido do paralelismo. |
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TH 05 |
(simetria do paralelismo) Se uma reta c é paralela assintótica a uma reta a, então a reta a é paralela assintótica à reta c. |
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TH 06 |
Se uma reta d é paralela divergente a uma reta a, então a reta a é paralela divergente à reta d. |
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TH 07 |
(transitividade do paralelismo) Se duas retas c e e são paralelas assintóticas à uma reta a, num determinado sentido,então as retas c e e são paralelas assintóticas entre si, no mesmo sentido |
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TH 08 |
A paralela assintótica b, em relação à reta a, se aproxima de a, no sentido do paralelismo |
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TH 09 |
Duas paralelas divergentes apresentam uma única perpendicular comum. |
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TH 10 |
Uma reta d paralela divergente à reta a por um ponto P, também o será por qualquer outro seu ponto. |
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TH 11 |
Em um biângulo, o ângulo externo é maior que o ângulo interno oposto. |
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TH 12 |
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TH 13 |
(A-B) Se dois biângulos apresentam um ângulo interno e a base congruentes, então eles são congruentes. |
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TH 14 |
(A-A) Se dois biângulos apresentam os ângulos correspondentes congruentes, então eles são congruentes. |
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TH 15 |
Os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são congruentes e o segmento que une os pontos médios da base e do topo é perpendicular a ambos. |
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TH 16 |
A base e o topo de um quadrilátero de Saccheri são paralelas divergentes, e também o são os outros dois lados. |
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TH 17 |
Os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são agudos. |
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TH 18 |
O ângulo não reto de um quadrilátero de Lambert é agudo |
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TH 19 |
Seja um quadrilátero □ABCD (04), com
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TH 20 |
Seja um quadrilátero □ABCD (04), com
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TH 21 |
Seja um quadrilátero □ABCD (04), com
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TH 22 |
Seja □ABCD um quadrilátero de Lambert, com os ângulos retos
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TH 23 |
Seja □ABCD um quadrilátero de Saccheri, de base
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TH 24 |
A soma dos ângulos internos de um triângulo
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TH 25 |
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero □ABCD é menor que 360o. |
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TH 26 |
(A-A-A) Se dois triângulos apresentam respectivamente iguais os três ângulos internos, então os triângulos são congruentes |
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TH 27 |
A medida de um ângulo externo de um triângulo é maior que a soma das medidas dos lados não adjacentes a ele |
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TH 28 |
A medida de um ângulo inscrito num círculo é menor do que a metade da medida do ângulo central correspondente |
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REFERÊNCIAS |
[01]LINS, Geraldo Henrique Botelho. Introdução à Geometria Hiperbólica: Semelhanças e Diferenças. 2002. 62f. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, p. 34 |
[02] HILBERT, David. Fundamentos da Geometria. Coord. OLIVEIRA, A. J. Franco de. Lisboa: ed. Gradiva. 2003. p.1-31. |
[03]O quadrilátero de Saccheri existe também na geometria neutra |
[04] Teoremas da geometria neutra |