Inversão

 

O modelo de Poincaré é construído a partir de inversão de pontos no plano euclidiano, que permite a construção de circunferências ortogonais.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Transformação Geométrica: Inversão

Dados uma circunferência de centro O e raio r e um ponto A qualquer do seu interior,  dizemos que o inverso de A em relação à circunferência é o ponto A' do plano tal que , onde A' pertence à semi-reta .

Observe que o raio é tangente à outra circunferência no ponto D, que é um dos pontos de intersecção entre elas. Logo as circunferências são ortogonais.

 

Construção Geométrica de A' Demonstração

Dados a circunferência de centro O, raio r e o ponto A do seu interior, tracemos por A a perpendicular à .

Determinemos os pontos D e E na intersecção da perpendicular com a circunferência dada.

Tracemos o raio  e a reta perpendicular à por D. O ponto de intersecção dessa perpendicular com é o ponto A'.

 

Temos que os triângulos e são semelhantes (retângulos com comum ), logo:

 

 

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Referências

 [01] construção de circunferência ortogonal à circunferência limite:

  • traçar uma circunferência de centro O e diâmetro .

  • tomar um ponto qualquer N do interior da circunferência.

  • traçar , pois construiremos uma circunferência ortogonal à circunferência traçada, por L, que passa por N.

  • traçar a mediatriz de , que encontra em M. 

  • traçar a reta tangente à circunferência por L, que encontra a mediatriz traçada anteriormente no ponto P.

  • traçar a circunferência de centro P e raio , que é ortogonal à circunferência inicial () Ela intersecta a circunferência C nos pontos L e T. O arc (LNT) (desconsiderando as extremidades) é interno à circunferência C e representa uma reta do plano hiperbólico, assim como o diâmetro (desconsiderando as extremidades).

 

[02] DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar. Geometria Plana v.9. 7 ed.São Paulo: ed. Atual. 1993.p.26-27

[03] Trudeau, Richard. La revoluzione non euclidea. p. 254. Tradução  nossa do italiano.

[04]  Diz-se que duas circunferências são ortogonais quando o raio de uma delas, passando por um dos pontos de intersecção, for tangente à outra circunferência. Na construção elaborada, note que o raio é tangente à circunferência de raio , ou seja, , sendo L um dos pontos de intersecção das circunferências dadas.