Atividade 2: Explorando o Disco de Poincaré

 

Explore dinamicamente as figuras e observe o seu comportamento:

  1. Como são as retas no plano euclidiano? E no plano hiperbólico?

  2. E os segmentos de retas?

  3. E os ângulos? Há divergência nas suas medidas?

Plano Euclidiano (P.E.)

Plano Hiperbólico (P.H.)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Modelo de Poincaré

Podemos definir modelo de um sistema axiomático formal como sendo "toda interpretação dos termos primitivos tais que os axiomas tornam-se enunciados verdadeiros (3)", o que nos fornece uma confirmação de coerência.

Estudaremos o modelo desenvolvido por Poincaré, que é um dos modelos disponíveis no software Cinderella, para o estudo da geometria hiperbólica. O software apresenta também o modelo de Klein, que não fará parte de nosso estudo.

 

Seja C uma circunferência do plano euclidiano de centro O e raio . O interior de C é formado por todos os pontos Q tais que . O interior de C é o plano hiperbólico e a circunferência e chamada de circunferência limite ou horizonte.

 

Nesse sistema os termos primitivos foram interpretados como segue:

Termos Primitivos
Interpretação

Ponto

Ponto Interno à C

Reta

Diâmetro aberto de C ou um arco de circunferência ortogonal à C

Plano

Interior de C
   

Modelo de Poincaré:

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Horizonte: circunferência de centro O

Plano: interior da circunferência

Pontos do Modelo: O, A (do interior da circunferência.

Retas: (excluindo as extremidades) e o arco de circunferência arco menor (DE) ortogonal(01) ao horizonte (excluindo as extremidades)

 
   

Inversão

Transformação Geométrica: Inversão
   

Após a definição e construção do modelo a partir de uma circunferência euclidiana, apresentado no link Inversão, passaremos a utilizar o modelo do Cinderella.

 

Voltando a situação inicial, movimente o segmento até as extremidades pertencerem à circunferência limite. Observe que o arco FG é ortogonal à circunferência limite.  Podemos então apresentar a interpretação dos objetos nas duas geometrias:

Geometria Euclidiana

Geometria Hiperbólica

Termos primitivos

Ponto: são os pontos do plano

Reta: são as retas do plano

Superfície Plana (plano): é o plano euclidiano

 

Ponto: são os pontos internos ao modelo

Reta: são diagonais (euclidianas) ou arcos de círculos (euclidianos) ortogonais à circunferência limite do modelo

Superfície Plana (plano): é o plano de Poincaré

 

Medida de Ângulos

Medida de um ângulo (amplitude) (02): Dado um ângulo qualquer , sua medida será indicada por e é um número real positivo associado a esse ângulo tal que:

  • Ângulos congruentes têm medidas iguais e, reciprocamente, ângulos que têm medidas iguais são congruentes.

        

  • Se um ângulo é maior que outro, sua medida é maior que a deste outro.

         

  • A um 'ângulo soma ' está associada uma medida que é a soma das medidas dos 'ângulos parcelas'.

         

A medida (amplitude) de um ângulo hiperbólico coincide com a amplitude euclidiana do ângulo formado pelas retas tangentes aos seus lados.

Obs: se o ângulo formado pelas retas tangentes for reto, então AO e BO são ortogonais.
   
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Referências

[01] Diz-se que duas circunferências são ortogonais se o raio de uma, que passa por um dos pontos de intersecção, é tangente à outra circunferência.

[02] DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar. Geometria Plana v.9. 7 ed.São Paulo: ed. Atual. 1993.p.26-27

[03] Trudeau, Richard. La revoluzione non euclidea. p. 254. Tradução  nossa do italiano.