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Definição
Hiperbólica 07: Um quadrilátero de Lambert é um
quadrilátero que apresenta três ângulos retos. |
TH 18: O ângulo não reto de um quadrilátero de Lambert é
agudo,ou seja,
(retos) e
é agudo.
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Demonstração |
Hipótese: Seja □ABCD um quadrilátero de Lambert, com os
ângulos retos
,
e
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_0566.gif) |
Tese:
é agudo |
No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
01 |
|
Construção;
TH 15 ;
D 17 |
02 |
Os ângulos
e
são agudos |
TH 17 |
03 |
Logo o
quarto ângulo do quadrilátero de Lambert é agudo |
02 |
Os teoremas 19, 20 e 21 serão utilizados nas próximas
demonstrações.
|
TH 19: Seja um quadrilátero □ABCD, com
e
retos e
,
conforme a figura. Nestas condições, temos que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_01366.gif)
|
Demonstração |
Hipótese: Seja □ABCD um quadrilátero, com
e
retos e
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_01266.gif) |
Tese:
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_01366.gif) |
No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
01 |
Seja um quadrilátero □ABCD, com A e B retos e
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_01266.gif) |
Hipótese |
02 |
|
T
16; C 01; construção |
03 |
□ABED é um quadrilátero de Saccheri |
02;
DH 06 |
04 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_01766.gif) |
03;
TH 15 |
05 |
Considerando o triângulo
temos que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2166.gif) |
T 08 |
06 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2266.gif) |
4; 5;
P 06 |
07 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2366.gif) |
P 04 |
08 |
,
ou
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2566.gif) |
06; 07;
P 15 |
Analogamente, podemos provar o teorema 20
No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
01 |
Seja um quadrilátero □ABCD, com
e
retos e
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_05766.gif) |
Hipótese |
02 |
Vamos
supor
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_06366.gif) |
Negação da
Tese |
-
□ABCD é um quadrilátero de Saccheri, logo os ângulos
e
são congruentes e agudos ( )
|
02;
DH 06;
TH 17;
TH 15 |
-
Contradição
|
01; 02.1 |
-
Logo,
não é congruente a
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_06666.gif)
|
02.2 |
03 |
Vamos
supor
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_07166.gif) |
Negação da
Tese |
-
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_07266.gif)
|
TH 19 |
-
Contradição
|
01; 03.1 |
-
Logo,
não é menor que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_06666.gif)
|
03.2 |
04 |
Portanto,
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_05866.gif) |
02.3; 03.3 |
|
TH 22: Seja □ABCD um quadrilátero de Lambert,
com os ângulos retos
,
e
,
temos que os lados adjacentes à D (ângulo agudo) são maiores que seus
respectivos lados opostos.
|
No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
01 |
Seja □ABCD
um quadrilátero de Lambert, com os ângulos retos
,
e
e o ângulo agudo . |
Hipótese |
02 |
Vamos
supor
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_3066.gif) |
Negação da
Tese |
-
□ABCD um
quadrilátero de Saccheri
|
DH 06 |
-
Os ângulos
e
são congruentes e agudos ( )
|
02.1;
TH 15 |
-
Contradição, pois
é reto e
é agudo
|
01;02.2;
DH 07 |
-
Logo
não é congruente a
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_3466.gif)
|
02.3 |
03 |
Vamos
supor
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_3566.gif) |
Negação da
Tese |
-
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_3666.gif)
|
TH 20 |
-
Contradição, pois
é reto e
é agudo
|
01;
03.1;
DH 07 |
-
Logo
não é maior que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_3466.gif)
|
03.2 |
04 |
Temos
então que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2866.gif) |
02.4; 03.3 |
05 |
Analogamente, provamos que
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_2966.gif) |
01-04 |
A partir do estudo do quadrilátero de Lambert, podemos
facilmente provar um teorema que envolve os quadriláteros de Saccheri.
Demonstre o TH 23, construindo o quadrilátero de Lambert a partir do
quadrilátero de Saccheri. |
Resposta |
|
TH 23: Seja □ABCD um quadrilátero de Saccheri, de base
,
temos que
,
ou seja, o topo é maior que a base |
Vamos retomar a atividade 05
e provar o teorema hiperbólico TH 08
|
TH 08: A paralela assintótica b, em relação a a, se
aproxima de a, no sentido do paralelismo. |
Demonstração |
Hipótese: Seja b uma paralela assintótica à reta a, por P, num
determinado sentido |
Tese:
b se aproxima de a no sentido do paralelismo |
No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
01 |
Seja b uma
paralela assintótica à reta a, por P, num determinado sentido. Vamos
supor à direita ( o mesmo pode ser provado, supondo à esquerda) |
Hipótese |
02 |
|
Tomemos três pontos em b, N, M e Q, à direita de
P, tais que N esteja entre P e M e M esteja entre N e Q.
Tracemos por N e M as perpendiculares à reta a
respectivamente por K e L.
Devemos provar que
,
ou seja as retas a e b se aproximam na direção do paralelismo (à
direita) |
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Construção;
T 16 |
03 |
e
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_04766.gif) |
TH 03;
DH 04 |
04 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_04866.gif) |
T 03 |
05 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_04966.gif) |
03; 04;
P 17 |
06 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_05066.gif) |
03; 05;
P 18 |
07 |
![](Ativ_08_arquivos/Ativ_4566.gif) |
TH 21 |
08 |
|
De modo análogo, devemos completar a demonstração
considerando as perpendiculares em relação à reta b, ou seja, devemos
provar que
,
conforme figura. |
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01-07 |
Após a atividade 8, o Resumo foi atualizado.
![RGH](Ativ_08_arquivos/buttonDB.jpg) |
Resumo da Geometria
Hiperbólica (RGH) |
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