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Definição
Hiperbólica 07: Um quadrilátero de Lambert é um
quadrilátero que apresenta três ângulos retos. |
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TH 18: O ângulo não reto de um quadrilátero de Lambert é
agudo,ou seja,
(retos) e
é agudo.
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Demonstração |
Hipótese: Seja □ABCD um quadrilátero de Lambert, com os
ângulos retos
 ,
e
 |
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Tese:
é agudo |
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
|
Construção;
TH 15 ;
D 17 |
| 02 |
Os ângulos
e
são agudos |
TH 17 |
| 03 |
Logo o
quarto ângulo do quadrilátero de Lambert é agudo |
02 |
Os teoremas 19, 20 e 21 serão utilizados nas próximas
demonstrações.
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TH 19: Seja um quadrilátero □ABCD, com
e
retos e
 ,
conforme a figura. Nestas condições, temos que
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Demonstração |
Hipótese: Seja □ABCD um quadrilátero, com
e
retos e
|
|
Tese:
|
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja um quadrilátero □ABCD, com A e B retos e
|
Hipótese |
| 02 |
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T
16; C 01; construção |
| 03 |
□ABED é um quadrilátero de Saccheri |
02;
DH 06 |
| 04 |
 |
03;
TH 15 |
| 05 |
Considerando o triângulo
temos que
 |
T 08 |
| 06 |
 |
4; 5;
P 06 |
| 07 |
 |
P 04 |
| 08 |
 ,
ou
 |
06; 07;
P 15 |
Analogamente, podemos provar o teorema 20
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja um quadrilátero □ABCD, com
e
retos e
 |
Hipótese |
|
02 |
Vamos
supor
 |
Negação da
Tese |
-
□ABCD é um quadrilátero de Saccheri, logo os ângulos
e
são congruentes e agudos ( )
|
02;
DH 06;
TH 17;
TH 15 |
-
Contradição
|
01; 02.1 |
-
Logo,
não é congruente a
|
02.2 |
| 03 |
Vamos
supor
 |
Negação da
Tese |
-
|
TH 19 |
-
Contradição
|
01; 03.1 |
-
Logo,
não é menor que
|
03.2 |
| 04 |
Portanto,
 |
02.3; 03.3 |
|
|
TH 22: Seja □ABCD um quadrilátero de Lambert,
com os ângulos retos
,
e
,
temos que os lados adjacentes à D (ângulo agudo) são maiores que seus
respectivos lados opostos.
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| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja □ABCD
um quadrilátero de Lambert, com os ângulos retos
,
e
e o ângulo agudo  . |
Hipótese |
|
02 |
Vamos
supor
 |
Negação da
Tese |
-
□ABCD um
quadrilátero de Saccheri
|
DH 06 |
-
Os ângulos
e
são congruentes e agudos ()
|
02.1;
TH 15 |
-
Contradição, pois
é reto e
é agudo
|
01;02.2;
DH 07 |
-
Logo
não é congruente a
|
02.3 |
| 03 |
Vamos
supor
 |
Negação da
Tese |
-
|
TH 20 |
-
Contradição, pois
é reto e
é agudo
|
01;
03.1;
DH 07 |
-
Logo
não é maior que
|
03.2 |
| 04 |
Temos
então que
 |
02.4; 03.3 |
| 05 |
Analogamente, provamos que
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01-04 |
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A partir do estudo do quadrilátero de Lambert, podemos
facilmente provar um teorema que envolve os quadriláteros de Saccheri.
Demonstre o TH 23, construindo o quadrilátero de Lambert a partir do
quadrilátero de Saccheri. |
Resposta |
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|
TH 23: Seja □ABCD um quadrilátero de Saccheri, de base
 ,
temos que
 ,
ou seja, o topo é maior que a base |
Vamos retomar a atividade 05
e provar o teorema hiperbólico TH 08
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TH 08: A paralela assintótica b, em relação a a, se
aproxima de a, no sentido do paralelismo. |
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Demonstração |
Hipótese: Seja b uma paralela assintótica à reta a, por P, num
determinado sentido |
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Tese:
b se aproxima de a no sentido do paralelismo |
| No do
Passo |
Passo |
Justificativa |
| 01 |
Seja b uma
paralela assintótica à reta a, por P, num determinado sentido. Vamos
supor à direita ( o mesmo pode ser provado, supondo à esquerda) |
Hipótese |
| 02 |
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Tomemos três pontos em b, N, M e Q, à direita de
P, tais que N esteja entre P e M e M esteja entre N e Q.
Tracemos por N e M as perpendiculares à reta a
respectivamente por K e L.
Devemos provar que
 ,
ou seja as retas a e b se aproximam na direção do paralelismo (à
direita) |
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Construção;
T 16 |
| 03 |
 e
 |
TH 03;
DH 04 |
| 04 |
 |
T 03 |
| 05 |
 |
03; 04;
P 17 |
| 06 |
 |
03; 05;
P 18 |
| 07 |
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TH 21 |
| 08 |
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De modo análogo, devemos completar a demonstração
considerando as perpendiculares em relação à reta b, ou seja, devemos
provar que
 ,
conforme figura. |
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01-07 |
Após a atividade 8, o Resumo foi atualizado.
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Resumo da Geometria
Hiperbólica (RGH) |
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a perpendicular à base
,
e também a
,
que une os pontos médios B e C, respectivamente de
e
tal que
.
Tracemos
. Nestas condições, temos que
.
