Observe que por P temos as paralelas assintóticas c e b em relação à reta a. Por W temos as paralelas assintóticas c e d em relação à reta a. Por X temos as paralelas assintóticas c e e em relação à reta a. Podemos então perceber que, como a reta c é paralela assintótica a reta a à direta, se tomarmos qualquer um dos pontos de c (W ou X) ela  também será paralela assintótica em relação à reta a, por tais pontos.

TH 04: Uma reta c paralela assintótica a uma reta a por um ponto P, num determinado sentido, também o será por qualquer outro seu ponto (W ou X), no mesmo sentido do paralelismo.

Sabemos que c é paralela assintótica à reta a por P. Se tomarmos um ponto qualquer de a, por exemplo o ponto R e traçarmos a paralela assintótica a c à esquerda, por R, verificaremos que é a própria reta a.

TH 05: (simetria do paralelismo) Se uma reta c é paralela assintótica a uma reta a, então a reta a é paralela assintótica à reta  c.

Se retomarmos o conceito de paralelas divergentes, podemos traçar as paralelas assintóticas (o, p) a d por R e notar que a reta a está entre tais paralelas limites, sendo portanto paralela divergente em relação à reta d.

TH 06: Se uma reta d é paralela divergente a uma reta a, então a reta a é paralela divergente à reta d.

Observe que as retas c e e convergem, à direita, para um mesmo ponto ideal.

TH 07: (transitividade do paralelismo) Se duas retas c e e são paralelas assintóticas à uma reta a, num determinado sentido,então as retas c e e são paralelas assintóticas entre si, no mesmo sentido.

Situação 5: As retas paralelas assintóticas se aproximam no sentido do paralelismo ?

obs: Paralelas assintóticas à esquerda: a e b; a e d; b e d . Paralelas assintótica à direita: a e c; a e e; c e e 

Analise por exemplo a situação das retas a e b: mova  (altura) para a esquerda (sentido do paralelismo de a e b) e verifique que o segmento   vai diminuindo a medida que nos aproximamos da circunferência limite, ou seja, diminuir a distância entre as retas significa que as retas vão se aproximando.

TH 08: A paralela assintótica b, em relação à reta a, se aproxima de a, no sentido do paralelismo.

Situação 6: As retas a e d são paralelas divergentes. Movimente o ponto T pela reta d. A reta e é perpendicular à reta d.  A reta f é perpendicular às retas a e d.

 É possível que e as retas e e f sejam distintas? Ou seja é possível que duas retas divergentes apresentem mais de uma perpendicular comum ? 

Movimentando a reta e podemos perceber que somente quando ela coincide com a reta f é que e torna-se perpendicular as retas a e d, ou seja a perpendicular é única.

TH 09: Duas paralelas divergentes apresentam uma única perpendicular comum.